Analisi modale con spettro di risposta: l’anello mancante

Nel post di oggi ti parlerò dell’analisi sismica di una struttura eseguita con l’utilizzo dell’Analisi Modale con Spettro di Risposta. Ti mostrerò come si arriva a determinare l’azione sismica su una struttura partendo da questi due elementi: l’Analisi Modale e gli Spettri di Risposta. Continua a leggere, scoprirai qual è l’anello di collegamento fra Analisi Modale e Spettri.

In alcuni articoli del passato ti ho già parlato dell’Analisi Modale, in particolare di come puoi capirla in 6 minuti e come capirla grazie a delle palle da baseball. Ti ho anche parlato degli spettri di risposta e di come sono stati ottenuti grazie ad un lollipop. Ti riporto qui di seguito un breve riepilogo.

Cos’è l’Analisi Modale

L’Analisi Modale mi dice quali sono i modi di vibrare di una struttura. I modi di vibrare sono quelle particolari configurazioni deformate per le quali lo spostamento di ciascun punto della struttura, lasciata libera di oscillare e in assenza di smorzamento, è proporzionale in ogni istante allo spostamento di qualsiasi altro suo punto.

Puoi anche immaginare una forma modale come quella particolare configurazione deformata per la quale ogni nodo della struttura, lasciata libera di vibrare, avrà uno spostamento con andamento sinusoidale in funzione del tempo . L’Analisi Modale mi dice inoltre quale è il periodo di vibrazione per ogni modo di vibrare.

Cosa sono gli spettri di risposta

Gli spettri di risposta mi dicono per un range di periodi di vibrazione (in genere da 0 a 4 secondi circa), quale accelerazione massima subirebbe un sistema vibrante (un oscillatore semplice per la precisione) in un determinato sito geografico e su un determinato tipo di suolo.

Quindi riassumendo, l’Analisi Modale mi dice quali sono i modi di vibrare di una struttura e i periodi di vibrazione di ciascun modo; gli Spettri mi dicono per ogni periodo di vibrazione qual è l’accelerazione massima che subirebbe il sistema vibrante. Quello che succede dopo potrebbe essere un po’ meno chiaro: i nostri software di calcolo combinano questi due elementi  per ottenere l’azione sismica sulla struttura. Ti spiego subito dopo come viene ottenuta.

Per ogni modo un sistema di forze sismiche

Ciascun modo di vibrare avrà un suo periodo di vibrazione. I modi di vibrare sono ordinati in maniera tale da avere periodi di vibrazione via via decrescenti. Di conseguenza il primo modo di vibrare avrà il periodo maggiore, il secondo avrà un periodo minore del primo e così via.

Poichè ciascun modo ha un suo periodo di vibrazione, per ciascun modo possiamo leggere nello Spettro di progetto l’accelerazione sismica corrispondente al periodo di vibrazione. Inoltre ciascun modo avrà un’altra importante caratteristica: la massa partecipante. Se ci fai caso nei tabulati di calcolo che vengono fuori dal tuo software di calcolo per ogni modo di vibrare dovrebbe essere specificata la massa partecipante come percentuale della massa sismica totale.

In funzione della massa partecipante e dell’accelerazione spettrale di progetto di un modo di vibrare, otterremo il taglio sismico alla base che caratterizza quel modo di vibrare. Conosceremo le sollecitazioni negli elementi strutturali per ogni modo di vibrare, in funzione dell’accelerazione spettrale e della massa partecipante corrispondenti.

Quanta massa deve partecipare?

Come ti ho accennato prima, ciascun modo di vibrare avrà una sua massa partecipante. Non è necessario considerare tutti i modi di vibrare di una struttura per eseguire un’analisi sismica. La Normativa Tecnica prescrive di considerare un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85% della massa sismica totale, prendendo in considerazione tutti quei modi che hanno una massa partecipante superiore al 5%.

Come combinare gli effetti dei singoli modi

Una volta che conosco per ogni modo di vibrare qual è l’effetto massimo in termini di sollecitazioni e spostamenti in funzione dello spettro di progetto utilizzato, ho bisogno di conoscere l‘effetto globale finale.

Una soluzione intuitiva potrebbe consistere nel sommare le sollecitazioni che vengono fuori da ciascun modo di vibrare. Ti dico subito che questa non è la soluzione giusta. I valori delle sollecitazioni e degli spostamenti che ottieni per ogni modo di vibrare rappresentano i valori massimi che si avrebbero durante un sisma con un determinato periodo di ritorno (475 anni nel caso di SLV – Stato Limite di Salvaguardia della Vita). Il punto è che quei valori massimi non si verificano tutti nello stesso istante, ma si verificano in istanti diversi.

Esistono due modi per combinare gli effetti dell’azione sismica considerando tutti i modi di vibrare:

  • Metodo SRSS radice quadrata della somma dei quadrati: si sommano le sollecitazioni o gli spostamenti di tutti i modi di vibrare elevati al quadrato e poi si fa la radice quadrata della somma totale;
  • Metodo CQC (combinazione quadratica completa) trovi la formula al punto 7.3.3.1 delle NTC2008; è il metodo prescritto dalla Normativa Tecnica e che molto probabilmente utilizza il tuo software di calcolo.

Sapresti prevedere il risultato?

Come hai potuto vedere l’analisi dinamica modale con spettro di risposta è un algoritmo abbastanza complesso, sarebbe impossibile eseguirla senza utilizzare un software di calcolo. Ti riassumo qui di seguito i passaggi:

  • determinazione dei modi di vibrare della struttura (Analisi Modale);
  • calcolo degli effetti dell’azione sismica (sollecitazioni o spostamenti) per ciascun modo di vibrare utilizzando lo spettro di progetto;
  • combinazione di questi effetti tramite un metodo di comprovata validità (CQC come prescritto dalle NTC2008).

Proprio a causa della complessità e dei diversi fattori che entrano in gioco, risulta difficile per un progettista prevedere intuitivamente i risultati come potrebbe accadere per un telaio caricato con forze statiche. Ti riporto di seguito i diversi effetti che entrano in gioco:

  • I primi modi di vibrare hanno massa partecipante maggiore, quindi di conseguenza giocheranno un ruolo determinante nella determinazione dell’azione sismica.
  • la deformata dei primi modi di vibrare porta a spostamenti dei nodi tutti nello stesso verso (a meno di evidenti effetti torsionali). Di conseguenza le forze sismiche corrispondenti avranno tutte lo stesso verso e il taglio sismico alla base della struttura sarà maggiore rispetto a quello dei modi successivi ai quali corrispondono forze discordi fra i vari impalcati.
  • l’azione sismica per ogni modo è data dal prodotto della massa partecipante del modo per l‘accelerazione spettrale corrispondente. Di conseguenza i primi modi avranno periodi maggiori e accelerazioni spettrali corrispondenti più basse. I modi successivi invece avranno massa partecipante minore, ma anche accelerazioni spettrali più alte poichè i loro periodi di vibrazione sono più bassi. Per questo motivo può anche accadere che l’azione sismica dei modi successivi ai primi sia predominante rispetto ai primi modi di vibrare.

Ti riporto qui sotto un’immagine sintetica per tenere a mente quanto appena detto. L’esempio è relativo al caso di un telaio piano a due livelli.

Telaio piano – Analisi Modale

Come puoi vedere gli effetti che entrano in gioco sono diversi ed è difficile poter predire intuitivamente il risultato dell’analisi ovvero stabilire quali modi di vibrare giocano un ruolo predominante rispetto ad altri.

Per riprodurre il caso dell’esempio visto sopra puoi scaricare una risorsa utility che esegue un’animazione dei modi di vibrare per un telaio piano con traversi rigidi a due livelli. La trovi alla fine di quest’articolo.

Risorsa utility: telaio piano a due livelli, modi di vibrare.

Conclusioni

Siamo arrivati alla fine del post. Se hai letto fin qui vuol dire che l’analisi sismica delle strutture fa parte dei tuoi settori di interesse. Spero che quest’articolo ti abbia aiutato a capire i principi fondamentali dell’Analisi Dinamica Modale con Spettro di Risposta. Conoscere l’algoritmo che implementa il tuo software di calcolo quando esegue l’analisi sismica delle strutture ti aiuterà a rendere il risultato meno misterioso.

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Al prossimo articolo.

Marco.