Analisi Pushover: spingi più che puoi. Ecco come funziona.

Come funziona l’Analisi Pushover e quali concetti ci sono alla base di quest’analisi. Questo è l’argomento del post di oggi. Per rendere più facile la comprensione mi farò aiutare dal modello di un telaio piano in calcestruzzo armato realizzato in SAP2000. Grazie ad una simulazione ti mostrerò in pratica cosa fa l’Analisi Pushover.

Nel post della settimana scorsa ti ho parlato della valutazione delle classi di rischio sismico per le strutture esistenti. Per poter definire la classe di rischio  di una struttura esistente hai bisogno di eseguire un’Analisi Statica non-lineare per valutare la capacità del sistema in termini di PGA (Peak Ground Acceleration)  ovvero l’Accelerazione di Picco al Suolo che la struttura può sopportare. Nel seguito del post ti spiego come eseguire l’analisi Pushover per poter ottenere la PGA di capacità.

 

La non-linearità concentrata in un punto: l’utilizzo delle cerniere plastiche

L’analisi statica non-lineare analizza il comportamento della struttura in campo plastico a differenza della classica analisi lineare che considera la struttura indefinitamente elastica

Nell’Analisi Pushover bisogna quindi modellare la plasticità della struttura attraverso l’utilizzo di cerniere plastiche. Si tratta di particolari cerniere che simulano il comportamento non-lineare della struttura. Queste cerniere si comportano da incastri finchè il momento sollecitante è inferiore al momento resistente della sezione. Superato il momento resistente, per tutti i carichi aggiuntivi, la cerniera plastica inizia ad esibire una rotazione, comportandosi come una vera e propria cerniera.

Legame Momento-Rotazione della cerniera plastica

La prassi di utilizzare delle cerniere plastiche è una semplificazione della realtà. Nella realtà la plasticizzazione non è concentrata in un punto di un elemento strutturale, ma è diffusa in una zona di una certa estensione. Per rendertene conto puoi pensare ad una trave a mensola con un carico concentrato all’estremità. Man mano che il carico aumenta, aumenterà anche il momento sollecitante. Una volta raggiunto il momento resistente al limite elastico, il calcestruzzo e l’acciaio entrano in campo plastico. All’interno della sezione la plasticità inizia a diffondersi man mano che aumenta il momento sollecitante per un tratto di una certa lunghezza dell’elemento. All’aumentare del momento sollecitante, aumenta la lunghezza dell’elemento plasticizzato.

Tutto questo viene schematizzato in maniera semplificata concentrando l’effetto della plasticizzazione in un solo punto, ovvero la cerniera plastica.

 

Dove posizionare le cerniere plastiche?

Se ti è già capitato di eseguire un’analisi Pushover con SAP2000, il software di Analisi Strutturale distribuito dalla Computers & Structures,  saprai che bisogna assegnare ad ogni elemento strutturale le cerniere plastiche e la loro posizione lungo l’asse della trave. Bisogna quindi sapere in quali punti di ciascun elemento strutturale assegnare la cerniera plastica. Come faccio a capire dove assegnare le cerniere plastiche alle travi e ai pilastri del mio modello strutturale?

E’ molto semplice. Ti basta pensare che le zone delle travi e dei pilastri che si plasticizzano per prime sono quelle con il momento sollecitante maggiore. Per individuare le zone maggiormente sollecitate è sufficiente osservare il diagramma del momento flettente per un telaio caricato da forze orizzontali come quelle che agiranno durante un evento sismico e nel corso dell’Analisi Pushover.

Ti riporto come esempio un telaio piano modellato in Ca.Tel.2D, l’applicazione del blog per l’analisi di strutture piane. Il modello è caricato da forze orizzontali Fx e carichi distribuiti sulle travi:

Telaio piano analizzato in Ca.Tel.2D

Come Puoi vedere dall’immagine sopra, le zone con il momento sollecitante maggiore sono quelle alle estremità delle travi e dei pilastri. Di conseguenza saranno le zone che si plasticizzeranno per prime.

Come carico il modello?

L’Analisi Pushover non fa nient’altro che incrementare una distribuzione di forze orizzontali fino al raggiungimento del collasso della struttura. La Normativa Tecnica prevede due differenti gruppi di distribuzioni di carico. Ti riporto l’estratto delle NTC2008 in merito:

Gruppo 1 – Distribuzioni principali:
– distribuzione proporzionale alle forze statiche applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la “a)” del Gruppo 2;
– distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del modo di vibrare, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%;
– distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in un’analisi dinamica lineare, applicabile solo se il periodo fondamentale della struttura è superiore a Tc.
Gruppo 2 – Distribuzioni secondarie:
a) distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;
b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura.

NTC2008 par. 7.3.4.1

L’Analisi incrementerà ad ogni step il moltiplicatore dei carichi, fino ad individuare con una procedura iterativa il moltiplicatore dei carichi che produce un determinato incremento di spostamento. 

Esempio pratico: un telaio piano

Ti riporto di seguito l’esempio di un’analisi Pushover eseguita per un telaio piano a tre livelli ed una sola campata. Come puoi vedere, se il telaio è ben progettato seguendo i criteri della Gerarchia Delle Resistenze le cerniere plastiche si formeranno prima nelle travi e dopo nei pilastri, fino a dar vita ad un meccanismo globale di collasso evitando il meccanismo di piano soffice. 

Telaio piano in SAP2000 per analisi statica non lineare

Step finale dell’Analisi Pushover: cerniere plastiche alle estremità di tutte le travi e alla base dei pilastri.

La curva di capacità e l’oscillatore equivalente

L’output principale dell’Analisi Pushover si può riassumere in un unico grafico: la curva di capacità della struttura. Si tratta di un grafico che mette in relazione il taglio risultante alla base con lo spostamento di un nodo di controllo del modello. In genere come nodo di controllo si sceglie il nodo appartenente all’ultimo impalcato del modello, in posizione prossima al baricentro all’impalcato. Ti riporto di seguito l’immagine di una curva di capacità di un’analisi Pushover:

Curva Pushover: Spostamento – Taglio alla base

 

Cosa ce ne facciamo di questa curva? La curva di capacità ci serve per definire un oscillatore semplice equivalente, ovvero un lollipop (ricordi? te ne ho già parlato in questo articolo). In pratica passiamo dalla nostra struttura che è un sistema a molteplici gradi di libertà (anche detto MDOF = Multi Degree of Freedom) ad un oscillatore semplice ad un solo grado di libertà (SDOF= Single Degree of Freedom).

Questo passaggio è prescritto dalla Normativa Tecnica C.M.2009 e si ottiene dividendo i valori della curva di capacità per il coefficiente di partecipazione modale del modo di vibrare con una significativa partecipazione di massa nella direzione considerata (massa partecipante e fattori di partecipazione ti hanno spiazzato? dai un’occhiata a questo post).

Oscillatore semplice equivalente (SDOF) del sistema a più gradi di libertà (MDOF) – C.M.2009 par. C.7.3.4.1

Una volta scalata la curva di capacità, il nostro sistema sarà equivalente ad un oscillatore semplice. E’ su questo sistema che verrà eseguita la verifica. Conosciamo infatti la capacità della struttura. Dobbiamo confrontare questa capacità con la domanda, ovvero lo spostamento che sarà richiesto dall’azione sismica di progetto.

Per conoscere la domanda utilizzeremo lo spettro di progetto i termini di spostamenti fornito dalla normativa Tecnica NTC2008. Entriamo nello spettro con il periodo di vibrazione dell’oscillatore semplice equivalente ed otterremo la domanda elastica in termini di spostamento. Ora dobbiamo confrontare la domanda elastica con la capacità.

A questo punto avremo una domanda in spostamento per un sistema elastico. Ma il nostro sistema è duttile. Arriviamo quindi ad un bivio. La strada che prenderemo dipende dall’entità del periodo di vibrazione dell’oscillatore semplice equivalente. Numerosi studi e simulazione numeriche hanno dimostrato che:

  • se T* ≥ Tc, allora la domanda in spostamento del sistema elastico è assunta uguale alla domanda in spostamento del sistema anelastico;
  • se T* < Tc, allora la domanda in termini di spostamento del sistema anelastico sarà maggiore della domanda del sistema elastico corrispondente.

T* è il periodo di vibrazione dell’oscillatore equivalente. Le due diverse possibilità sono riassunte nell’immagine di seguito:

Curva di sinistra: sistema con periodo T* >= Tc –> domanda anelastica = domanda elastica; Curva di destra: oscillatore equivalente con periodo T* < Tc –> domanda anelastica > domanda elastica

 

La verifica consiste nel confrontare la domanda in termini di spostamento con la capacità del sistema sempre in termini di spostamento.

Capacità ≥ Domanda ⇒ VERIFICA SODDISFATTA

Verifica condotta in un’analisi Pushover

Conclusioni

Come hai potuto vedere, l’Analisi Pushover è un tipo di analisi un po’ più avanzato e complesso rispetto all’Analisi Dinamica Modale (che già di per sè non è semplice). L’Analisi Pushover ha però il vantaggio per una struttura esistente di prevedere il meccanismo di collasso a cui andrà incontro la struttura in caso di sisma di una certa intensità. A seconda della posizione e della successione con cui si formeranno le cerniere plastiche potremo sapere infatti se ci sarà un meccanismo di collasso di piano soffice o un meccanismo di collasso globale.

Maggiori diventano le potenzialità di calcolo dei nostri computer, più complesse diventano le analisi che è possibile eseguire e di conseguenza anche più complesse le Normative che le regolamentano. Ti basti pensare che per l’Analisi Pushover le NTC2008 prevedono anche distribuzioni di carico adattive, in cui la distribuzione delle forze varia ad ogni step a seconda del danneggiamento raggiunto.

Per un progettista non è sempre semplice restare al passo con l’evoluzione dei metodi di calcolo. Spero che quest’articolo abbia contribuito a fare un po’ di chiarezza.

Hai letto fin qui? Allora l’analisi Pushover fa parte dei tuoi settori di interesse. Se l’articolo ti è piaciuto puoi suggerirlo ai tuoi amici sui social o ai tuoi colleghi su LinkedIn cliccando sui tasti di condivisione in fondo alla pagina. Se hai domande, puoi lasciare un commento sotto l’articolo.

Al prossimo post.

Marco.