Curvatura di una trave: come capirla in tre click [Nuova risorsa utility]

Nel post di oggi potrai scaricare una nuova risorsa utility dedicata al tema della curvatura della deformata di un elemento strutturale. Nel post della settimana scorsa ti ho parlato dell’ipotesi di  piccoli spostamenti e di come quest’ipotesi semplifichi la risoluzione del problema della linea elastica grazie ad una formula semplificata per il calcolo della curvatura.

Penso che mostrare praticamente un concetto sia molto più efficace, per questo nella risorsa utility che metto a disposizione in questo post potrai vedere praticamente di cosa si tratta. Continua a leggere, potrai scaricare la nuova risorsa alla fine dell’articolo. Di seguito ti mostrerò come funziona e come puoi utilizzarla al meglio.

Passo 1: scegli una fra le tre curve disponibili

Dopo aver attivato le Macro nella prima schermata dell’applicazione, si aprirà la pagina principale. Qui troverai tre bottoncini che ti permetteranno di selezionare una fra tre diverse curve. Si tratta di curve polinomiali di terzo grado del tipo y(x) = ax^3+bx^2+cx+d ottenute cambiando i coefficienti a, b, c, d del polinomio.

  • curva 1: a=0, b=0.10, c=0 d=0
  • curva 2: a=-0.01, b=0, c=1 d=4
  • curva 3: a=-0.10, b=0, c=1 d=4

Schermata della Risorsa Utility

Potrai vedere l’andamento della curva nel piano cartesiano x,y. Puoi immaginare queste curve come la deformata dell’asse di una trave. C’è però una precisazione da fare: l’ipotesi di piccoli spostamenti non è rispettata. Se ci fai caso infatti la massima ordinata che puoi vedere nel grafico (la puoi immaginare come lo spostamento verticale dell’asse di una trave) è dello stesso ordine di grandezza dell’ascissa massima. Ti ricordo che per rispettare l’ipotesi di piccoli spostamenti, lo spostamento massimo in mezzeria di una trave appoggiata-appoggiata per esempio deve essere minore di un trentesimo della luce (te ne ho già parlato in questo post). In questo caso la relazione precedente non è rispettata.

Passo 2: sposta il punto sulla curva

Il mancato rispetto dell’ipotesi di piccoli spostamenti serve proprio a mettere in luce ciò che voglio mostrarti con l’utilizzo di questa risorsa.

Nella parte alta dell’applicazione troverai due pulsanti freccia che puoi utilizzare per spostare il punto di interesse sulla curva. Per ogni posizione del punto, potrai vedere il raggio di curvatura in quel punto e il cerchio osculatore corrispondente. Ti ricordo che la curvatura di una curva in un punto non è altro che l’inverso del raggio del cerchio osculatore:

Curvatura: ρ = 1/R

  • ρ curvatura;
  • R raggio del cerchio oculatore.

Clicca sui pulsanti freccia per spostare il punto sulla curva

Passo 3: passa dalla formula completa a quella approssimata

C’è poi un altro comando molto utile al nostro scopo. Si tratta di una finestra di selezione che ti permette di scegliere la formula da utilizzare per calcolare la curvatura della curva nel punto selezionato. Puoi scegliere fra due opzioni:

  • Formula completa
  • Formula approssimata (è quella utilizzata nell’ipotesi di  piccoli spostamenti)

Se scegli l’opzione formula completa verrà calcolata la curvatura esatta nel punto della curva selezionato. La formula utilizzata è la seguente:

Nel caso di ipotesi di piccoli spostamenti, il valore della derivata prima della funzione y(x) elevato al quadrato al denominatore può essere trascurato, perchè sarebbe un infinitesimo di ordine superiore. Pertanto l’espressione della curvatura si semplifica e coinciderà con la derivata seconda della funzione y(x). Puoi vedere la formula qui di seguito:

Nella risorsa utility che condivido con te l’ipotesi di piccoli spostamenti non è rispettata, di conseguenza la formula semplificata della curvatura darà come risultato un valore con un certo grado di errore. Puoi vedere qui in basso l’esempio del confronto fra la curvatura calcolata con la formula completa e quella calcolata con la formula approssimata nel punto della curva indicato in figura.

Formula completa della curvatura – 1/R = 0.170 [1/m]

Formula semplificata – 1/R = 0.492 [1/m]

I valori delle curvature ottenute con le due formule tenderanno a coincidere se posizioni il punto in zone della curva in cui la derivata prima è vicina ad un valore nullo, ovvero quelle zone della curva in cui la tangente alla curva in quel punto è quasi orizzontale. In questi punti infatti il valore della curvatura ottenuto con le due diverse formulazioni è quasi coincidente. Puoi provarlo tu stesso passando da una formulazione all’altra e leggendo il valore numerico del raggio di curvatura nella parte alta del foglio. Vedrai che il valore del raggio è quasi coincidente.

La Teoria Tecnica della Trave adotta proprio quest’ipotesi, pertanto puoi vedere come sia lecito approssimare l’espressione della curvatura con la sua forma semplificata in modo da rendere più agevole il calcolo senza commettere errori di approssimazione.

SCARICA LA RISORSA UTILITY

E’ arrivato il momento di provare la nuova risorsa. Potrai scaricarla qui di seguito. La risorsa è riservata agli iscritti al blog. Se sei già iscritto alla newsletter hai ricevuto via email il link per scaricare la risorsa nell’email ricevuta alla pubblicazione dell’articolo. Non ti occorre eseguire una nuova iscrizione. Controlla la tua casella di posta elettronica.

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Conclusioni

L’espressione semplificata della curvatura entra direttamente in gioco nel legame costitutivo Momento-Curvatura per la risoluzione del problema della linea elastica. Avere presente l’importanza dell’ipotesi di piccoli spostamenti per la validità di questa formula ti aiuterà ad individuare eventuali criticità nel tuo modello di calcolo. Se nel tuo software di calcolo applichi al tuo modello carichi spropositatamente grandi, otterrai spostamenti altrettanto grandi, magari ben oltre il limite consentito per la validità dell’ipotesi di piccoli spostamenti. Mi auguro che questo post e la risorsa allegata ti abbiano aiutato a comprenderne l’importanza.

Probabilmente questo post sarà apprezzato in particolar modo dagli iscritti che stanno completando il loro percorso di studi (so che ce ne sono diversi 🙂 ). Se sei un professionista forse lo troverai poco pratico per il tuo lavoro. Penso che comunque rispolverare di tanto in  tanto alcuni concetti chiave dell’analisi strutturale possa aiutare a svolgere il proprio lavoro con maggiore sicurezza.

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Al prossimo post.

Marco.