Modi di vibrare: quanti ne devi considerare per l’analisi sismica di una struttura?

Quanti modi di vibrare devi considerare per eseguire correttamente l’analisi sismica di una struttura? Nel post di oggi voglio parlarti del numero esatto di modi da considerare e del perchè la domanda che ti stai ponendo è sbagliata. Ti mostrerò un esempio pratico grazie al quale capirai perchè non è il numero di modi che consideri che fa la differenza, ma un altro parametro ben più importante. Continua a leggere per scoprire di cosa si tratta.

Se segui da un po’ questo blog, avrai letto diversi articoli che trattano l’analisi sismica delle strutture ed in particolare l’analisi modale. Dovresti quindi ricordare che per una struttura tridimensionale il numero totale di modi di vibrare è pari al numero di impalcati moltiplicato per tre. Tre infatti sono i gradi di libertà per ciascun impalcato nel proprio piano: spostamento X, spostamento Y e rotazione intorno a Z.

Per esempio, per una struttura composta da sette impalcati avremo  7 x 3 = 21 modi di vibrare in totale. Il calcolo è molto semplice, ma ai fini dell’analisi sismica quanti di questi modi di vibrare devi considerare? Soltanto il primo? I primi tre? Tutti quanti? Ti dico subito che ti stai ponendo la domanda sbagliata. C’è un altro fattore che devi controllare per assicurarti che l’analisi sismica sia eseguita correttamente.  

Nel seguito del post ti mostrerò l’esempio pratico di un telaio piano a 4 livelli. Grazie a questo esempio capirai cosa sono i coefficienti di partecipazione, cos’è la massa partecipante e come puoi essere certo che il tuo calcolo strutturale sia corretto. Partiamo con ordine. Per rispondere alla domanda di inizio post dobbiamo prima chiarire cosa sono due fattori essenziali:

  • i coefficienti di partecipazione modale
  • la massa partecipante

I coefficienti di partecipazione modale

Uno dei risultati forniti dall’analisi modale sono i coefficienti di partecipazione modale. Ogni modo di vibrare avrà un suo coefficiente di partecipazione. Questi coefficienti sono una misura del contributo di ciascun modo di vibrare alla risposta sismica della struttura.

Tali coefficienti dipendono dalla forma modale di ciascun modo di vibrare e dalla massa sismica di ciascun impalcato. Se esegui un calcolo sismico con due diversi software di calcolo potresti avere differenti valori dei coefficienti di partecipazione per la stessa struttura. Com’è possibile? Questo accade perchè i coefficienti di partecipazione dipendono da come sono scalati i modi di vibrare del sistema. I modi infatti non sono altro che delle forme, sono definiti cioè a meno di una costante. Questo vuol dire che se moltiplico per una costante gli spostamenti degli impalcati di un singolo modo di vibrare, il risultato sarà ancora una forma modale. Cioè gli spostamenti di ciascun impalcato per ogni forma modale non hanno significato nel loro valore assoluto, ma hanno senso in rapporto gli uni con gli altri.

Per riassumere, confrontando fra loro i coefficienti di partecipazione dei modi di vibrare puoi farti un’idea sull’entità del contributo di ciascun modo alla risposta del sistema.

La massa partecipante

La massa partecipante mi dice quanta massa viene eccitata per ciascun modo di vibrare. Ovvero la massa che per ciascun modo di vibrare, moltiplicata per l’accelerazione spettrale corrispondente al periodo del modo, mi fornisce il taglio sismico alla base relativo a quel modo.

Di conseguenza anche la massa partecipante di ciascun modo mi dice l’entità del contributo del singolo modo alla risposta del sistema. C’è però una differenza rispetto ai coefficienti di partecipazione modale. La massa partecipante non dipende da come sono scalate le forme modali. Con qualunque software eseguirò l’analisi modale, per la stessa identica struttura la massa partecipante di ogni singolo modo sarà sempre la stessa.

E’ utile di solito esprimere la massa partecipante come percentuale della massa sismica totale. Ti ricordo che la massa sismica si calcola utilizzando i valori caratteristici dei carichi permanenti (peso proprio strutturale e non strutturale) e il valore caratteristico dei carichi accidentali ridotto del coefficiente ψ2j (tabella 2.5.1 NTC2008).

Se non superi l’85% il tuo calcolo non ha valore

Ora che hai chiaro cosa sono i coefficienti di partecipazione modale e la massa partecipante, possiamo rispondere alla domanda di inizio post: quanti modi di vibrare devi considerare?

Per rispondere a questa domanda dovrai considerare la massa partecipante di ciascun modo di vibrare e la somma totale delle masse partecipanti corrispondenti al numero di modi che vai a considerare.

Ogni modo di vibrare darà un contributo all’azione sismica totale con un proprio tagliante sismico alla base. Il tagliante sismico di ogni modo sarà dato dall’accelerazione spettrale corrispondente al periodo di vibrazione del modo per la massa partecipante del modo di vibrare. Pertanto se non consideri una sufficiente percentuale di massa partecipante stai trascurando una parte dell’azione sismica agente.

La Normativa Tecnica prescrive di considerare un numero di modi tale per cui la massa partecipante sia almeno pari all’85% della massa sismica totale. Ti riporto di seguito l’estratto della Normativa:

Devono essere considerati tutti i modi con massa partecipante significativa. È opportuno a tal
riguardo considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di
modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%.

par. 7.3.3.1 NTC2008

 

Esempio pratico: un telaio piano a 4 livelli

Per chiarire meglio quanto detto sopra, ti riporto di seguito un esempio pratico per mostrarti come NON considerare un adeguato numero di modi di vibrare può portarti ad un’errata valutazione dell’azione sismica. L’esempio in questione riguarda un telaio piano a 4 impalcati. 

I primi due impalcati sono in cemento armato, i restanti due sono in acciaio. Pur trattandosi di un telaio tridimensionale, ai fini di quest’esempio ho vincolato i nodi in modo tale da riprodurre il comportamento di un telaio piano con spostamenti contenuti nel piano XZ.

 

Modello di esempio: Telaio 3D a 4 impalcati; spostamenti orizzontali consentiti solo nel piano XZ per riprodurre il comportamento di un telaio piano.

 

Questo modello avrà quattro modi di vibrare. Immaginiamo tu decidessi di considerare due modi di vibrare ai fini dell’analisi sismica di questa struttura. Potresti pensare che due modi siano sufficienti, in quanto ne stai considerando la metà: 2 su 4 totali.

Ma il punto non è questo. Non devi focalizzarti sul numero di modi da considerare, ma sulla massa partecipante. Infatti in questo caso specifico, pur considerando il 50% dei modi di vibrare, stai prendendo in considerazione appena il 38% della massa sismica totale. Ti sembra strano? Guarda i risultati dell’analisi modale per rendertene conto.

 

Modi di vibrare del sistema, coefficienti di partecipazione modale e masse partecipanti

 

Ecco di seguito le masse partecipanti corrispondenti a ciascun modo di vibrare:

  • Modo 1: massa partecipante = 35.53%
  • Modo 2: massa partecipante = 2.66%
  • Modo 3: massa partecipante = 56.17%
  • Modo 4: massa partecipante = 5.63%

Considerare solo i primi due modi di vibrare ti porterà a tener conto di una massa partecipante pari al 38% circa. La maggior aliquota di massa partecipante si attiva con il terzo modo di vibrare. Infatti per questo modo abbiamo ben il 56%.

 

Conclusione

Come hai potuto vedere, non conta quanti modi di vibrare consideri ai fini dell’analisi sismica, ma conta quanta massa partecipante viene chiamata in gioco dai modi di vibrare che scegli di prendere in considerazione.

Probabilmente starai pensando che il tuo super software di calcolo aggiornatissimo all’ultima versione provvederà automaticamente a fare questo controllo e fornirti il risultato corretto. Sono d’accordo con te, è assolutamente così.

Ti faccio però una domanda: vuoi essere spettatore di un algoritmo scritto da qualcun’altro o vuoi essere consapevole di cosa accade davanti ai tuoi occhi? Se dovessi scegliere, preferirei la seconda opzione. Inoltre avere consapevolezza di cosa fa il tuo software di calcolo e di quali sono i principi alla base dell’analisi può aiutarti a risolvere rapidamente eventuali anomalie ed errori.

 

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Ti auguro una buona settimana.

Marco. 

  • mattia

    Buongiorno, l’articolo è molto utile e chiaro! Qualche consiglio per ottimizzare un modello numerico in cui l’85% di massa partecipante non viene raggiunto?

    • Ciao Mattia,
      se consideri tutti i modi di vibrare di una struttura dovresti raggiungere il 100% della massa partecipante. Se non raggiungi l’85% una spiegazione potrebbe essere che il tuo software utilizza un filtro, trascurando i modi di vibrare con massa partecipante inferiore al 5% (come prescritto dalla Normativa). Se questi modi sono numerosi potresti non arrivare all’85%. E’ un caso raro ma comunque possibile.
      Senza altri dettagli, è l’unico scenario che mi viene in mente.
      Grazie del commento.
      Ciao 😉

      • mattia

        Grazie mille per la risposta; in questo caso particolare sto utilizzando Straus7, software che non trascura i modi con massa inferiore al 5%. I modelli nei quali ho riscontrato questo problema sono prevalentemente caratterizzati da geometria abbastanza complessa e caratteristiche poco omogenee, mi viene in mente ad esempio un palasport con struttura verticale in c.a. e copertura in legno. Ogni volta che mi trovo di fronte ad un’insufficienza di massa eccitata non so mai come comportarmi perché dalle basi teoriche che possiedo so che il modello non è rappresentativo, ma allo stesso tempo non riesco a reperire informazioni utili su come migliorarlo per renderlo tale. Se hai qualche consiglio in merito, magari anche qualche libro di testo o pagina web che tratti l’argomento, è bene accetto.
        Grazie in anticipo e buona serata
        Mattia

        • Un consiglio che mi viene in mente è di controllare la massa delle fondazioni. La massa delle strutture di fondazione non viene eccitata dai modi di vibrare. Alcuni software danno la possibilità di trascurare la massa delle fondazioni, escludendola dal calcolo. Potrebbe essere un motivo per cui non raggiungi abbastanza massa partecipante. Potresti fare un tentativo e vedere se la massa partecipante aumenta.
          Ciao
          Marco.