Come progettare una fondazione: rigidezza sezione e k di Winkler

Nel post di oggi ti parlerò del ruolo della rigidezza relativa fondazione/terreno nel calcolo delle sollecitazioni in una trave di fondazione e degli effetti della variabilità del k di Winkler. Ti mostrerò alcuni modelli creati con Ca.Tel.2D che ti aiuteranno a comprendere come questi parametri influiscono sul comportamento di una trave di fondazione.

 

Il modello di suolo alla Winkler

Il modello più utilizzato per il calcolo delle sollecitazioni negli elementi di fondazione è il modello di suolo alla Winkler. Il terreno di fondazione viene schematizzato come un letto di molle di rigidezza k (noto anche come k di Winkler), indipendenti fra loro; di conseguenza l’abbassamento di una molla non comporta l’abbassamento anche della molla adiacente. Esistono diversi metodi per stimare il valore del k di Winkler, li trovi elencati in quest’articolo.

Nota la rigidezza k del terreno, puoi passare al progetto della trave di fondazione. La sezione della trave di fondazione deve avere un’adeguata rigidezza flessionale. A tal proposito voglio mostrarti due casi limite che interessano la sezione della trave di fondazione e di conseguenza la rigidezza relativa fondazione-terreno che scegliamo:

  • Trave di fondazione infinitamente flessibile rispetto alla rigidezza del terreno;
  • Trave di fondazione infinitamente rigida rispetto alla rigidezza del terreno. 

Per mostrarti la differenza fra questi due casi limite, ho utilizzato dei modelli creati in Ca.Tel.2D, la risorsa del blog per la risoluzione di schemi strutturali piani (in Ca.Tel.2D  puoi modellare anche travi di fondazione su suolo elastico; nel prossimo tutorial ti spiegherò come fare). 

Il modello creato riproduce un telaio a due livelli e due campate con trave di fondazione su suolo alla Winkler. Il telaio dell’esempio è composto da:

  • travi di sezioni 30×50;
  • pilastri di sezione 30×70;
  • k di Winkler = 3 kg/cm^3;
  • altezze di piano = 3 m;
  • Luce delle campate: 5 m e 4 m.

Telaio con trave di fondazione su suolo alla Winkler

Primo schema limite: trave con bassa rigidezza flessionale

Il primo caso riguarda il caso di fondazione con bassa rigidezza flessionale. Per riprodurlo ho assegnato alla trave di fondazione una sezione di altezza molto ridotta, appena 10 cm per una base di 100 cm. Ecco il risultato in termini di deformata e sollecitazioni flettenti.

Deformata – Modello con trave di fondazione con bassa rigidezza flessionale (sezione 10×100)

Momento flettente – Modello con trave di fondazione con bassa rigidezza flessionale (sezione 10×100)

Come puoi vedere dall’immagine della deformata, l’eccessiva deformabilità della trave di fondazione non consente una distribuzione uniforme delle tensioni di compressione sul terreno. Si ha una concentrazione di sforzi in corrispondenza dei pilastri, mentre il resto del terreno al centro delle campate risente molto poco della presenza della sovrastruttura in termini di tensioni di compressione. Ovviamente si tratta di una caso limite di esempio. L’obiettivo è mostrarti che una fondazione non adeguatamente rigida non consente di sfruttare al massimo la capacità portante del terreno, in quanto i maggiori abbassamenti saranno concentrati in prossimità dei pilastri.

 

Secondo schema limite: trave di fondazione infinitamente rigida

Nel secondo schema limite invece la trave di fondazione ha una sezione di rigidezza infinita. In pratica ho assegnato alla trave una sezione con momento d’inerzia 1000 volte più grande rispetto al momento di inerzia di una sezione 40×100. Ti mostro sotto i risultati ottenuti in termini di spostamenti e sollecitazioni. 

Deformata – Trave di fondazione infinitamente rigida

Momento flettente – Trave di fondazione infinitamente rigida

In questo caso la fondazione rigida trasla uniformemente verso il basso. L’abbassamento del terreno è uguale in ogni punto della fondazione e di conseguenza la tensione di compressione sul terreno è uniforme lungo l’asse della trave.

Le sollecitazioni flettenti all’interno della trave di fondazione hanno un valore più grande rispetto al caso di fondazione con bassa rigidezza flessionale:

  • Primo schema limite: momento massimo = 109.46 kNm;
  • Secondo schema limite: momento massimo = 267.51 kNm

Come puoi vedere il momento sollecitante massimo aumenta, assumendo un valore pari a circa 2.5 volte quello del caso di fondazione flessibile.

La realtà sta nel mezzo

Ti ho mostrato i due casi limite che riguardano una trave di fondazione. Si tratta di due situazioni estreme che servono per mettere in luce il ruolo della rigidezza relativa fondazione/terreno. Senz’altro bisogna guardare al caso di fondazione infinitamente rigida nell’ottica del progetto di una trave di fondazione. La trave rigida infatti fa lavorare meglio il terreno, comprimendolo in maniera uniforme e chiamando in gioco anche il terreno più distante dallo scarico dei pilastri.

Veniamo ora all’ultimo caso: una fondazione di rigidezza finita pari a quella che in genere viene utilizzata per le fondazioni superficiali; ovvero la rigidezza di una fondazione con sezione a T, di altezza 100 cm e base 100 cm.

Deformata – Trave di fondazione di rigidezza finita (Sezione a T)

Momento sollecitante – Trave di fondazione di rigidezza finita (Sezione a T)

Come puoi vedere dalle immagini, i risultati in termini di spostamenti e sollecitazioni si avvicinano molto al caso di fondazione infinitamente rigida. Lo scostamento dei valori è davvero minimo.

  • Momento massimo nella trave infinitamente rigida: 267.51 kNm;
  • Momento massimo nella trave di rigidezza finita: 228.96 kNm.

Di conseguenza in fase di predimensionamento, quando ancora non è nota la sezione da assegnare alla fondazione, puoi utilizzare il modello di trave rigida per risolvere lo schema della trave di fondazione e calcolare le sollecitazioni (magari utilizzando Ca.Tel.2D).

La sensibilità del k di Winkler

Abbiamo visto finora come una trave di fondazione risente della rigidezza relativa fondazione/terreno facendo variare la rigidezza flessionale della trave di fondazione. In questo secondo esempio invece voglio mostrarti di quanto variano le sollecitazioni nella trave al variare del k di Winkler, lasciando inalterata la sezione della fondazione.

La rigidezza k del suolo alla Winkler viene valutata attraverso diversi metodi. Si tratta comunque di una stima della rigidezza del terreno. La variabilità degli strati del sottosuolo e la disomogeneità del terreno non rendono sempre facile arrivare ad un valore del k di Winkler che rispecchia fedelmente la realtà.

Proprio perchè si tratta di una stima approssimata della rigidezza del suolo, di quanto ne risentono le sollecitazioni nella trave di fondazione al variare di questo parametro?. Per mostrartelo ho analizzato due modelli:

  • uno con k di Winkler pari a 3 kg/cm^3;
  • il secondo con k di Winkler pari a 0.3 kg/cm^3, ben dieci volte inferiore rispetto al caso precedente.

Di quanto pensi che varieranno le sollecitazioni nella trave di fondazione nei due casi? Te lo mostro subito.

Momenti sollecitanti – k di Winkler pari a 3 kg/cm^3

Momenti sollecitanti – k di Winkler pari a 0.3 kg/cm^3

  • k = 3 kg/cm^3; momento massimo = 228.96 kNm;
  • k = 0.3 kg/cm^3: momento massimo = 230.04 kNm.

Come hai potuto vedere, le sollecitazioni nella trave di fondazione risentono molto poco della variabilità del k di Winkler. Si ottengono valori del momento massimo che sono praticamente coincidenti. Di conseguenza anche se la rigidezza del suolo è una stima approssimata della rigidezza reale del terreno, non commetterai grossi errori nella valutazione delle sollecitazioni.

Un caso notevole: il riempimento di uno scavo

Diverso è il caso in cui il k di Winkler varia lungo l’asse della trave, assumendo due valori differenti. In questo caso le sollecitazioni nella trave di fondazione ne risentono eccome. La variabilità del k di Winkler lungo l’asse della trave di fondazione può essere dovuta per esempio al riempimento di uno scavo localizzato di dimensioni inferiori alla lunghezza della trave, utilizzando materiale di riporto senza prevedere un adeguato compattamento. Il risultato è che il suolo di fondazione avrà due rigidezze differenti.

Nell’esempio che ti mostro, il k di Winkler è pari a 3 kg/cm^3. In corrispondenza del tratto di terreno sotto il pilastro centrale assume un valore ridotto di 0.3 kg/cm^3 ipotizzando la presenza di uno scavo che è stato successivamente riempito. Guarda un po’ cosa succede.

k di Winkler variabile lungo l’asse della trave: k = 0.3 kg/cm^3 sotto il pilastro centrale, k=3 kg/cm^3 nel resto della trave.

Momento sollecitante – k = 0.3 kg/cm^3 nella zona sotto il pilastro centrale, k = 3 kg/cm^3 nel resto della trave.

In questo caso le sollecitazioni della trave assumono un andamento del tutto differente rispetto al caso di suolo omogeneo con rigidezza di Winkler uniforme e il valore massimo del momento aumenta di un bel po’ passando da un valore di circa 230 kNm ad un valore di 371 kNm (incremento del 60%).

 

Struttura a base fissa o su suolo alla Winkler?

Per quanto riguarda l’analisi della sovrastruttura, puoi seguire due strade differenti:

  • modellare la sovrastruttura con base fissa, imponendo dei vincoli di incastro alla base dei pilastri; dovrai poi creare un secondo modello della sola fondazione a cui assegnare come carichi le reazioni vincolari della sovrastruttura a base fissa;
  • creare un unico modello che comprenda la sovrastruttura e la trave di fondazione su suolo alla Winkler. In questo caso conoscerai da subito le sollecitazioni nella trave di fondazione senza dover creare un secondo modello. 

 

Gli effetti del suolo alla Winkler sul periodo di vibrazione

C’è un’importante considerazione da fare. Se modelli la struttura completa di trave di fondazione su suolo alla Winkler, aumenteranno i periodi di vibrazione rispetto al caso di struttura a base fissa.

Di conseguenza si avrà una riduzione dell’accelerazione spettrale e molto probabilmente un’azione sismica più bassa (dipende in che zona dello spettro si troverà il periodo della struttura a base fissa). Ti riporto un esempio sulla diminuzione di rigidezza traslante fra il telaio a base fissa e quello su fondazione alla Winkler. I due telai mostrati di seguito sono caricati da una forza orizzontale pari a 100 kN applicata nel nodo di sommità.

Telaio su suolo alla Winkler caricato con forza orizzontale Fx = 100 kN

Telaio a base fissa caricato con Forza orizzontale Fx = 100 kN

Il telaio su fondazione alla Winkler presenta uno spostamento orizzontale del nodo di sommità più grande di quello a base fissa (15.62 mm contro 2.21 mm), di conseguenza avrà una rigidezza traslante più bassa.

Al diminuire della rigidezza traslante, aumenteranno i periodi di vibrazione (ottenuti con l’Analisi Modale). Per rendertene conto puoi osservare la formula del periodo di vibrazione di un oscillatore semplice:

T = 2 π ( M / K )^0.5

  • M = massa concentrata dell’oscillatore semplice;
  • K = rigidezza traslante dell’oscillatore semplice;
  • T = periodo di vibrazione.

Come puoi vedere, al diminuire della rigidezza, aumenterà il periodo di vibrazione. Ti consiglio pertanto di modellare la trave di fondazione su suolo alla Winkler insieme con la sovrastruttura solo se la stima del k di Winkler può essere ritenuta rappresentativa della reale rigidezza del terreno; altrimenti conviene optare per la struttura a base fissa.

Conclusioni

Siamo arrivati alla fine di questo lungo post. Ecco cosa devi ricordare quando progetti e verifichi una trave di fondazione:

  • le sollecitazioni ottenute per trave di fondazione infinitamente rigida sono quasi coincidenti con le sollecitazioni per trave di fondazione con rigidezza finita. In fase di progetto quindi puoi calcolare le sollecitazioni utilizzando il modello di trave di fondazione infinitamente rigida;
  • le sollecitazioni nella trave di fondazione risentono poco della variabilità del k di Winkler se questo resta costante lungo l’asse della trave;
  • l’andamento delle sollecitazioni nella trave di fondazione può variare di molto se il k di Winkler varia lungo l’asse della trave in corrispondenza di una o più campate (caso di scavi localizzati riempiti in seguito con materiali di riporto);
  • se analizzi un unico modello completo di trave di fondazione su suolo alla Winkler, i periodi di vibrazione aumenteranno e l’azione sismica diminuirà. Usa un modello completo solo se la stima del k di Winkler è sufficientemente realistica.

Per oggi è tutto. Se hai trovato utili le informazioni contenute in quest’articolo, puoi suggerirle ad un tuo amico sul tuo social preferito o ad un tuo collega su Linkedin cliccando sui tasti di condivisione che trovi in fondo alla pagina. 

Ci rileggiamo al prossimo articolo.

Marco.