Dalle Tensioni Ammissibili allo Stato Limite Ultimo: un gioco di probabilità

Un articolo sulle principali differenze fra il Metodo delle Tensioni Ammissibili e il Metodo degli Stati Limite nei riguardi della verifica a flessione di una sezione in cemento armato. Scoprirai i concetti principali che sono alla base di questi due metodi di calcolo. 

Il mondo dei progettisti di strutture si divide in due categorie:

• chi a suo tempo ha imparato a progettare e verificare con il Metodo delle Tensioni Ammissibili e ha dovuto aggiornarsi in seguito all’entrata in vigore del Metodo degli Stati Limite;
• chi si è formato in epoca più recente ed ha imparato a progettare e verificare con il Metodo degli Stati Limite Ultimi.

A prescindere dalla categoria di progettista di cui fai parte, sono certo che una ripassata ti aiuterà a chiarire le idee. Seguimi nel nuovo post di oggi.

I legami costitutivi di calcestruzzo e acciaio

Prima di addentrarci nelle differenze fra i due metodi di calcolo, occorre un breve richiamo ai legami costitutivi che caratterizzano i materiali calcestruzzo e acciaio. Il legame costitutivo è un grafico che mette in relazione le tensioni del materiale con le corrispondenti deformazioni, ottenute dall’esecuzione di una prova sperimentale di laboratorio su provini di materiale adeguatamente preparati.

Il legame costituivo di calcestruzzo e acciaio è di tipo non lineare. Ciò vuol dire che raggiunta la deformazione al limite elastico, la variazione di tensione non sarà più proporzionale alla variazione della deformazione (per questo motivo si eseguono prove a controllo di spostamento). Ti riporto sotto due grafici di esempio che riproducono i legami costitutivi del calcestruzzo e dell’acciaio.

Nel metodo delle Tensioni Ammissibili i materiali restano in campo elastico: ciò vuol dire che verrà utilizzato solo il ramo elastico lineare del legame costitutivo. Allo Stato Limite Ultimo invece viene considerato il legame costitutivo completo, includendo anche il ramo plastico.

Le ipotesi assunte per l’analisi della sezione nel Metodo delle Tensioni Ammissibili e nel Metodo degli Stati Limite sono le stesse:

• conservazione delle sezioni piane;
• perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo;
• resistenza a trazione del calcestruzzo nulla;

Il modo in cui si analizza la sezione nei due casi è però diverso. Nel seguito del post lo vedremo nel dettaglio.

Tensioni Ammissibili: analisi elastica e Metodo n

Con il Metodo delle Tensioni Ammissibili l’analisi della sezione viene eseguita in campo elastico. Tutti i materiali saranno in fase elastica e ci sarà un legame lineare fra tensioni e deformazioni. L’algoritmo di verifica per una sezione sollecitata a flessione prevede la ricerca dell’asse neutro della sezione. L’asse neutro individua i punti della sezione a deformazione nulla e separa il materiale in compressione da quello in trazione. 

Entra in gioco il coefficiente di omogeneizzazione n. Anche se composta da due materiali differenti (calcestruzzo e acciaio), nell’analisi elastica la sezione viene schematizzata come una sezione omogenea costituita da un unico materiale, in cui le aree delle barre di armatura saranno amplificate tramite il coefficiente di omogeneizzazione n.

Il coefficiente di omogeneizzazione è dato dal rapporto fra il modulo elastico dell’acciaio e il modulo elastico del calcestruzzo.

n =  Es / Ec      (coefficiente di omogeneizzazione)

• n = coefficiente di omogeneizzazione
• Es = modulo elastico dell’acciaio
• Ec = modulo elastico del calcestruzzo

La risoluzione consiste nella ricerca della posizione dell’asse neutro in corrispondenza della quale la risultante delle tensioni interne della sezione è nulla.

Per ottenere la tensione in corrispondenza delle barre di armatura, basta amplificare del coefficiente di omogeneizzazione la tensione del diagramma delle tensioni omogeneizzate al calcestruzzo. La verifica va eseguita controllando che la tensione sollecitante sia minore della tensione ammissibile del materiale.

E’ anche possibile effettuare la verifica determinando il momento resistente della sezione, ossia il valore del momento sollecitante che determina il raggiungimento della tensione ammissibile nel materiale.

Stato Limite Ultimo per flessione

Nel caso di verifica allo Stato Limite Ultimo, la sezione non viene considerata come una sezione omogenea composta da un unico materiale. Viene quindi abbandonato l’utilizzo del coefficiente di omogeneizzazione n. Le tensioni nei materiali vengono calcolate considerando il loro effettivo valore, in funzione della deformazione raggiunta e del legame costitutivo utilizzato.

Nel caso dello Stato Limite Ultimo la verifica viene eseguita calcolando il momento resistente della sezione in corrispondenza del raggiungimento della capacità deformativa ultima nei materiali.

Ci sono infatti due ipotesi aggiuntive rispetto al caso di analisi della sezione alle Tensioni Ammissibili:

• rottura del calcestruzzo determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima a
  compressione;
• rottura dell’armatura tesa determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima a trazione;

In genere la crisi si ha per raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo. Per tale motivo la ricerca dell’asse neutro viene eseguita imponendo la deformazione ultima nel lembo compresso della sezione. 

Si ricerca poi la posizione dell’asse neutro in corrispondenza della quale si ha l’equilibrio interno fra le tensioni della sezione. A seconda della deformazione raggiunta si calcola la tensione agente in ogni punto della sezione in funzione del legame costitutivo utilizzato.

I modelli disponibili per il legame costitutivo

Allo Stato Limite Ultimo la Normativa tecnica consente di scegliere fra diversi modelli di legame costitutivo rappresentativi del reale comportamento del materiale.

Per il calcestruzzo si può scegliere fra:

• a) Parabola-rettangolo
• b) Triangolo-rettangolo
• c) Stress block (il legame viene modellato tramite un rettangolo la cui area è pari all’area sottesa dal legame tensione/deformazione)

Per l’acciaio i modelli proposti sono:

• a) bilineare finito con incrudimento
• b) elastico-perfettamente plastico indefinito (ovvero non è definita una deformazione ultima; idealmente la deformazione ultima è infinita)

Un maggiore livello di sicurezza: diminuiscono le probabilità di collasso

La differenza fra il Metodo delle Tensioni Ammissibili e quello degli Stati Limite non risiede solo nei legami tensione-deformazione utilizzati per i materiali. Un’altra importante differenza riguarda l’amplificazione dei carichi e la riduzione delle resistenze dei materiali.

Per il Metodo delle Tensioni Ammissibili vengono utilizzati i valori dei carichi e delle resistenze pari rispettivamente al frattìle del 5% e 95%. Ti spiego in pratica cosa vuol dire:

• se schiacci 100 provini di calcestruzzo fino a rottura, avrai valori diversi della resistenza; quale valore usare? Ordinando i risultati ottenuti in ordine crescente, si sceglie di usare il valore di resistenza al di sotto del quale ricadono solo 5 provini dei 100 analizzati (il frattile del 5%)
• Se si misurano i carichi agenti su 100 solai, si avranno anche in questo caso valori molto di versi fra loro. Ordinando le incidenze di carico a metro quadro in ordine crescente, si sceglie di usare il frattile 95%, ovvero quel valore del carico al di sotto del quale ricadono 95 solai fra quelli considerati (frattile 95%).

Tali valori vengono detti valori caratteristici per le resistenze e per le azioni. Per le resistenze si avrà il 5% di probabilità di avere un valore più basso, per i carichi si avrà il 5% di probabilità di avere un valore più alto rispetto a quello caratteristico. La probabilità che contemporaneamente siano superati i carichi caratteristici e si abbiano resistenze minori di quelle caratteristiche è data dal prodotto delle loro probabilità. Ovvero si avrà lo 0.25% di probabilità che si riscontrino nella realtà resistenze minori di quelle caratteristiche e carichi maggiori di quelli caratteristici.

Con lo Stato Limite Ultimo si raggiunge un livello di sicurezza ancora superiore. In che modo? Riducendo ulteriormente le resistenze e amplificando le azioni con opportuni coefficienti di amplificazione che consentono di arrivare al frattile 0.5% (invece del 5%) per le resistenze e 99.5% (invece del 95%) per le azioni.

Si arriva in tal caso a probabilità di superamento dell’ordine dello 0.0025%, ovvero 1 probabilità su 10^-6 (una su un milione per intenderci). Molto più alte.

Ma come fare per verificare queste azioni? Se si usasse il metodo delle Tensioni Ammissibili, mantenendo i materiali in campo elastico, ci vorrebbero elevate quantità di armatura oppure dimensioni della sezione esagerate. La progettazione diventerebbe antieconomica, il costo della struttura aumenterebbe vertiginosamente. Per questo motivo si ricorre allo sfruttamento delle capacità plastiche dei materiali. In tal modo si riesce a verificare la struttura, garantendo livelli di sicurezza maggiori.

Un esempio numerico

Ti riporto di seguito un esempio numerico realizzato con Ver.Sez. l’applicazione del blog per la verifica di sezioni in cemento armato (puoi scaricarla a questo link). La sezione analizzata ha le seguenti caratteristiche:

• Dimensioni 30×60
• Armatura 5 phi 16 superiori, 5 phi 16 inferiori
• Calcestruzzo C20/25, tensione ammissibile = 8.50 N/mmq
• Acciaio B450C, tensione ammissibile = 260 N/mmq

I momenti resistenti della sezione saranno pari a:

• 213.86 kNm allo SLU
• 136.73 kNm alle Tensioni Ammissibili

Come puoi vedere, sfruttando le capacità plastiche della sezione si avrà un incremento del momento resistente di ben il 56% rispetto a quello calcolato alle tensioni ammissibili. Ti riporto sotto le schermate di Ver.Sez., l’applicazione utilizzata per eseguire questo esempio numerico.

Per ottenere lo stesso valore del momento resistente che si ha in campo plastico analizzando la sezione in campo elastico ed utilizzando quindi il Metodo delle Tensioni Ammissibili, occorrerà incrementare l’armatura inferiore fino ad arrivare a 13 barre phi 16. E’ un incremento notevole (+160%) rispetto alle sole 5 barre necessarie nel caso dello SLU. Ti riporto sotto la schermata di Ver.Sez. con il calcolo del momento resistente alle Tensioni Ammissibili.

Si tratta di un caso dimostrativo, in quanto una sezione 30×60 con 13 barre inferiori non sarebbe realizzabile a causa dei limiti geometrici sull’interferro minimo. Inoltre con un’armatura inferiore così elevata non sarebbero garantiti i requisiti di duttilità, in quanto l’asse neutro si avvicina al baricentro geometrico della sezione.

Il calcolo elastico va in pensione?

Il Metodo delle Tensioni Ammissibili si basa sull’analisi elastica della sezione. Anche se si utilizza il metodo degli Stati Limite per la verifica di una struttura l’analisi elastica della sezione non viene completamente abbandonata. L’analisi elastica della sezione continua a giocare un importante ruolo nella verifica di una struttura anche secondo il Metodo degli Stati Limite. Viene infatti utilizzata per la verifica agli Stati Limite di Esercizio. Gli Stati Limite di Esercizio hanno lo scopo di garantire la funzionalità della struttura, limitando le deformazioni e la formazione delle fessure. Ecco perché se il Metodo delle Tensioni Ammissibili oggi non è più utilizzato per le verifiche di resistenza (se non in particolari condizioni), l’Analisi elastica della sezione con l’utilizzo del Metodo n non è stata affatto abbandonata.

Conclusioni

L’articolo di oggi finisce qui. Spero ti sia stato utile per chiarire le differenze di base fra il Metodo delle Tensioni Ammissibili e il Metodo degli Stati Limite. Ti ricordo che con Ver.Sez. l’applicazione per la verifica di sezioni in cemento armato, puoi eseguire la verifica di una sezione sia allo Stato Limite Ultimo che alle Tensioni Ammissibili.

Nella versione PREMIUM di Ver.Sez. potrai inoltre progettare e verificare il rinforzo di sezioni con l’utilizzo di FRP (tessuti e lamine fibro-rinforzati) e stampare per ogni modulo di verifica una dettagliata relazione tecnica. Trovi l’applicazione al link seguente.

Scarica Ver.Sez. PREMIUM (clicca qui)

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Per questa settimana è tutto. Al prossimo post.

Marco.